Una forma fácil de hacerse a la idea de la cantidad de modos normales que pueden haber en el sistema es por la cantidad de ecuaciones. En el caso de 2 osciladores acoplados tenemos solo 2 ecuaciones diferenciales acopladas y encontramos solo 2 modos normales. En general dependiendo la cantidad de ecuaciones que tengamos habra un modo normal por cada una, por ejemplo, para el caso 3D que mostraste hay 3 ecuaciones por cada átomo en la base ya que puede oscilar en cada dirección. Si fuera un material monoátomico, cada átomo tendria solo 3 modos normales, mientras que si fuera diatomico seria 3+3=6. En general para un material con m átomos en la base habran 3*m modos normales. Ahora lo interesante aquí no es la cantidad total de modos normales, sino ver la diferencias entre ellos, se puede ver que para el caso 3D, un material con m átomos en la base tendra 3 ramas acusticas (que se entienden como 3 modos normales acusticos, 2 transversales y longitudinal) y 3(m-1) ramas ópticas (donde la relación de dispersión se comporta de manera lineal).

Juan David, es diferente tener N osciladores que se mueven en un espacio bidimensional a tener N1 osciladores acoplados en una dirección y N2 acoplados en una dirección transversal.

Hola,

si tienes N1 osciladores acoplados en 1D debes tener N1 modos normales. Puedes extender ese análisis a dos dimensiones, en donde tendrías N1 modos normales en una dirección y N2 modos normales en la otra, por lo tanto en total tendrías N1* N2 modos normales. De la misma manera, en tres dimensiones tendrías N1*N2*N3 modos normales.

Cordialmente,

Daniel Sabogal